1.

Le triangle MER est isocèle en E donc ses angles à la base ont la même mesure :

$\widehat{MRE}=\widehat{RME}=50^{\circ} .$

$\widehat{MER}=180^{\circ}-2\times 50^{\circ}$

$\widehat{MER}=180^{\circ}-100^{\circ}$

$\widehat{MER}=80^{\circ} .$

Le triangle SUD est isocèle en U donc ses angles à la base ont même mesure :

$\widehat{USD}=\widehat{UDS}$

$\widehat{USD}=\dfrac{180^{\circ}-80^{\circ}}{2}$

$\widehat{USD}=\dfrac{100^{\circ}}{2}=50^{\circ} .$

Donc $\widehat{MER}=\widehat{SUD}$ ; $\widehat{EMR}=\widehat{UDS}$ et $\widehat{MRE}=\widehat{DSU}$ .

Les triangles MER et SUD ont leurs angles deux à deux de même mesure, donc ce sont des triangles semblables.

2.

Comme MER et SUD sont semblables et que les angles $\widehat{EMR}$ et $\widehat{SDU}$ ont même mesure, alors les longueurs ME et UD sont proportionnelles, ainsi que SD et MR.

Le côté [MR] est compris entre les sommets M et R ; dans le triangle SUD, les sommets correspondants sont D et S. Donc [MR] correspond bien à [SD].

Appelons $k$ le rapport d’agrandissement qui permet de passer du triangle SUD au triangle MER.

$k = \dfrac{ME}{UD} = \dfrac{2{,}4}{1{,}8} = \dfrac{4}{3}$ donc $k > 1$

On utilise la valeur exacte du rapport k pour calculer MR, pas une valeur approchée ! Sinon, on perd en précision !

3.

Comme [SD] correspond à [MR], on multiplie SD par le rapport $k$ .

$MR = k \times SD = \dfrac{4}{3} \times 2{,}1\,\text{cm} = 2{,}8\,\text{cm}$

La longueur $MR$ est égale à $2{,}8\,\text{cm}$ .