Arithmétique des nombres entiers

Un entier naturel est un nombre entier positif ou nul.

• Les nombres 0, 1, 2, 3, 4, etc. sont des entiers naturels : la liste continue indéfiniment.
• Le nombre 13 est un entier naturel. Sa partie décimale est nulle ; on peut l'écrire 13=13{,}0.

Si a est un multiple de b, c'est-à-dire si a=b\times k avec k entier, alors a est aussi un multiple de k.
Autrement dit, b et k sont tous deux des diviseurs de a.

Pour déterminer tous les diviseurs d'un nombre entier positif N, on teste la divisibilité de N par les entiers positifs dans l'ordre croissant : 1, 2, 3, 4, etc.

Chaque diviseur trouvé donne un couple de diviseurs sous la forme d'un produit égal à N.

On s'arrête lorsque le prochain diviseur à tester a déjà été obtenu dans un couple précédent.

Tout entier naturel non nul est divisible par 1 et par lui-même.

Pour dresser la liste complète des diviseurs d’un entier naturel non nul n, on peut arrêter les tests à \sqrt{n}.

Chaque diviseur trouvé donne alors un couple de diviseurs.

Pour lister les multiples d'un entier non nul N, on multiplie N par les entiers naturels dans l'ordre croissant :

0 est un multiple de tout nombre entier non nul.

Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

• Le nombre 6 n'est pas premier : 6=2\times3, donc 2 est un diviseur autre que 1 et 6.
• Le nombre 7 est un nombre premier : ses seuls diviseurs sont 1 et 7.

• 0 n'est pas premier car il possède une infinité de diviseurs.
• 1 n'est pas premier car il possède un seul diviseur : lui-même.
• 2 est le seul nombre premier pair car tous les autres nombres pairs sont divisibles par 2 et admettent donc un autre diviseur que 1 et eux-mêmes.

Pour savoir si un entier naturel n est premier, il suffit de tester sa divisibilité par les nombres premiers inférieurs ou égaux à \sqrt{n}.

Si aucun de ces nombres premiers ne divise n, alors n est premier.

Pour décomposer un entier en produit de facteurs premiers avec l'algorithme en colonne :

• on divise le nombre par le plus petit nombre premier qui le divise ;
• on garde ce même nombre premier tant qu'il divise le quotient obtenu ;
• lorsqu'il ne le divise plus, on passe au nombre premier suivant ;
• on recommence jusqu'à obtenir un quotient égal à 1.

Une fraction est dite irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1 (au signe près).

Autrement dit, on ne peut plus la simplifier par un entier supérieur à 1.

• La fraction -\dfrac{2}{3} est irréductible, car 2 et 3 n'ont aucun diviseur commun autre que 1.
• La fraction -\dfrac{6}{9} n'est pas irréductible, car 6 et 9 ont 3 comme diviseur commun.
  On peut donc simplifier :

• Deux entiers naturels non nuls sans diviseur commun autre que 1 sont dits premiers entre eux.
• Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

Pour rendre une fraction irréductible avec la DPFP :

• on décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers ;
• on simplifie les facteurs premiers communs ;
• on conclut en donnant la fraction irréductible.

Dans un problème de partage en paquets identiques, pour utiliser toutes les quantités et obtenir le plus grand nombre de paquets possible, on cherche le plus grand diviseur commun.

À partir des DPFP, on forme des paires de facteurs premiers communs. On garde un facteur par paire, puis on multiplie les facteurs gardés.

Dans un problème où plusieurs phénomènes se répètent régulièrement, pour trouver le premier moment où ils se produisent de nouveau ensemble, on cherche le plus petit multiple commun.

À partir des DPFP, on multiplie tous les facteurs premiers nécessaires pour obtenir un nombre multiple de chacune des durées de répétition.

Soient a et b deux entiers naturels non nuls.

Le Plus Grand Commun Diviseur de a et de b est appelé le PGCD de a et de b.
On le note \mathrm{PGCD}(a\,;\,b).

Soient a et b deux entiers naturels non nuls.

Le Plus Petit Commun Multiple non nul de a et de b est appelé le PPCM de a et de b.
On le note \mathrm{PPCM}(a\,;\,b).

Pour deux entiers naturels non nuls a et b :