CL.

Nombres et calculs

Calcul littéral

Icônes à identifier

ExplicationsComprendre la démarche

Rédaction attendueCe qu'il faut écrire

CalculatriceVérifier avec l'outilHorsprogrammeHors programmePour aller plus loinCarte liéeExercice associé à l'ET

I. Produire une expression littérale

A.Définition d'une expression littérale

Définition - Expression littérale

Une expression littérale est une expression mathématique qui comporte une ou plusieurs lettres.

Ces lettres désignent des nombres.

Exercice-type 1CL.1.n°1 CL.1.n°2

1.Donner la formule générale permettant de calculer le périmètre d'un rectangle de longueur

L

et de largeur

l

Rectangle de longueur

L

et de largeur

l

2.Donner la formule générale permettant de calculer l’aire d'un rectangle de longueur

L

et de largeur

l

3.Si le prix d'une baguette de pain est de 1,10 €, donner l’expression littérale de la somme

S

à payer pour l’achat de

x

baguettes de pain.

Baguette de pain avec une étiquette de prix à 1,10 €.

CorrectionÉtape 0 sur 3

Rédaction attendue

1.Appelons $\mathcal{P}$ le périmètre du rectangle. Alors $\mathcal{P}=2\times L+2\times l$ .

2.Appelons $\mathcal{A}$ l’aire du rectangle. Alors $\mathcal{A}=L\times l$ .

3.La somme $S$ à payer pour $x$ baguettes de pain est $S=x\times1{,}10$ .

Explications

Le périmètre correspond à la longueur du contour du rectangle.
En additionnant les longueurs du contour, on obtient $L+l+L+l$ .
En regroupant les termes de même nature, on obtient $2\times L+2\times l$ .
L’aire correspond au nombre de petits carrés nécessaires pour recouvrir l’intérieur du rectangle.
Pour un rectangle de $7$ carreaux de long et $3$ carreaux de large, on compte $7\times3=21$ petits carrés.
On généralise : pour un rectangle de longueur $L$ et de largeur $l$ , on obtient $\mathcal{A}=L\times l$ .
Si on achète $1$ baguette, on paye $S=1\times1{,}10$ euro.
Si on achète $2$ baguettes, on paye $S=2\times1{,}10$ euros.
Si on achète $5$ baguettes, on paye $S=5\times1{,}10$ euros.
Si on achète $x$ baguettes, on paye $S=x\times1{,}10$ euros.

Remarques

Utiliser une lettre permet d’exprimer un résultat général.

Par exemple, les formules ci-dessus permettant de calculer le périmètre $\mathcal{P}$ ou l’aire $\mathcal{A}$ d’un rectangle sont valables pour n’importe quel rectangle, quelles que soient sa longueur $L$ et sa largeur $l$ .

II. Simplifier une expression littérale à l'aide des conventions d'écriture

A. Conventions et notations

Dans une expression, le signe $\times$ peut être supprimé devant :

Une lettre
Une parenthèse

On place toujours le nombre avant la lettre ou la parenthèse.

Exercice-type 2CL.2.n°1

Simplifier les expressions suivantes :

4\times a

b\times c

S=x\times1{,}10

(x+4)\times5

CorrectionÉtape 0 sur 4

Rédaction attendue

1. $4\times a=4a$

2. $b\times c=bc$

3. $S=x\times1{,}10=1{,}10\times x=1{,}10x$

4. $(x+4)\times5=5\times(x+4)=5(x+4)$

Explications

On supprime le signe $\times$ devant une lettre.
Comme à la question 1, on supprime le signe $\times$ devant la lettre $c$ .
Attention : $x1{,}10$ est une écriture fausse.
On permute les facteurs pour placer le nombre avant la lettre : $x\times1{,}10=1{,}10\times x$ .
On peut ensuite supprimer le signe $\times$ : $1{,}10\times x=1{,}10x$ .
On permute d’abord les facteurs pour placer le nombre devant la parenthèse : $(x+4)\times5=5\times(x+4)$ .
On supprime ensuite le signe $\times$ devant la parenthèse : $5\times(x+4)=5(x+4)$ .

B. Cas particuliers

Le nombre 1 ne s'écrit pas devant une lettre ou une parenthèse.
Si $x$ désigne un nombre, $0\times x=0$ .
Si $x$ désigne un nombre, $x\times x=x^2$ (lire « $x$ au carré ») et $x\times x\times x=x^3$ (lire « $x$ au cube »).

Exercice-type 3CL.2.n°2

Simplifier les expressions suivantes :

1\times x

x\times x

0\times x

x\times x\times x

-x\times y

x\times(-y)

-x\times(-y)

CorrectionÉtape 0 sur 7

Rédaction attendue

1. $1\times x=x$

2. $x\times x=x^2$

3. $0\times x=0$

4. $x\times x\times x=x^3$

5. $-x\times y=-xy$

6. $x\times(-y)=-xy$

7. $-x\times(-y)=xy$

Explications

Le facteur $1$ ne s’écrit pas devant une lettre.
Le produit $x\times x$ se note $x^2$ : c’est le carré de $x$ .
Le produit par $0$ est égal à $0$ .
Le produit $x\times x\times x$ se note $x^3$ : c’est le cube de $x$ .
Un seul facteur opposé donne l’opposé du produit : $-x\times y=-xy$ .
Un seul facteur opposé donne aussi l’opposé du produit : $x\times(-y)=-xy$ .
Deux facteurs opposés redonnent le produit initial : $-x\times(-y)=xy$ .

C. Propriété

Pour tous nombres $x$ et $y$ :

-x\times y=-xy

x\times(-y)=-xy

-x\times(-y)=xy

D.Produit avec plus de deux facteurs

Propriété

Pour simplifier un produit avec plus de deux facteurs, on peut d'abord déterminer le signe du résultat.

On peut ensuite modifier l'ordre des facteurs pour regrouper les facteurs numériques et les facteurs littéraux, puis multiplier les facteurs sans leur signe.

Exercice-type 4CL.2.n°3

Simplifier l’expression suivante :

H=-2\times b\times(-7)\times(-b)\times2

CorrectionÉtape 0 sur 4

Rédaction attendue

H=-2\times b\times(-7)\times(-b)\times2

H=-2\times b\times7\times b\times2

H=-2\times7\times2\times b\times b

H=-28b^2

Explications

On part de l’expression donnée.
On repère trois facteurs écrits avec un signe $-$ : $-2$ , $-7$ et $-b$ . Le produit est donc précédé d'un signe $-$ ; on garde ce signe au début du produit, puis on écrit les facteurs sans leur signe négatif.
Une fois le signe déterminé, on modifie l’ordre des facteurs pour regrouper les facteurs numériques et les facteurs littéraux.
On multiplie les facteurs sans leur signe : $2\times7\times2=28$ et $b\times b=b^2$ . On obtient la forme simplifiée.

III. Réduire une expression littérale

A. Définition

Réduire une expression littérale, c’est regrouper les termes de même nature pour l’écrire avec le moins de termes possible.

Remarques - Cas particuliers de réduction

$x+x=2x$ se lit « double de $x$ ».

$x+x+x=3x$ se lit « triple de $x$ ».

Exercice-type 5CL.3.n°1 CL.3.n°2

Réduire l’expression suivante.

$A=-3x^2+8x-11+7x^2-13x+4$

CorrectionÉtape 0 sur 7

Rédaction attendue

A=-3x^2+8x-11+7x^2-13x+4

Rédaction attendue

A=-3x^2+8x-11+7x^2-13x+4

A=\CLTermSquare{-3x^2}\CLTermLinear{+8x}\CLTermConst{-11}\CLTermSquare{+7x^2}\CLTermLinear{-13x}\CLTermConst{+4}

A=\CLTermSquare{4x^2}\CLTermLinear{-5x}\CLTermConst{-7}

Explications

On repère les termes de l’expression en conservant toujours le signe qui les précède.
On entoure les termes en $x^2$ avec leur signe : $-3x^2$ et $+7x^2$ .
On calcule les termes en $x^2$ : $-3x^2+7x^2=4x^2$ .
On entoure ensuite les termes en $x$ avec leur signe : $+8x$ et $-13x$ .
On calcule les termes en $x$ : $8x-13x=-5x$ .
On entoure enfin les constantes avec leur signe : $-11$ et $+4$ .
On calcule les constantes : $-11+4=-7$ .

Exercice-type 6CL.3.n°3

Réduire ou simplifier les expressions suivantes en les comparant systématiquement.

A=x+x

contre

A'=x\times x

B=3x+4x

contre

B'=3x\times4x

C=3x-4x

contre

C'=3x\times(-4x)

CorrectionÉtape 0 sur 4

Rédaction attendue

$A=x+x$ contre $A'=x\times x$

A=x+x=2x

A'=x\times x=x^2

$B=3x+4x$ contre $B'=3x\times4x$

B=3x+4x=7x

B'=3x\times4x=12x^2

$C=3x-4x$ contre $C'=3x\times(-4x)$

C=3x-4x=-x

C'=3x\times(-4x)=-12x^2

Explications

On compare systématiquement une addition ou une soustraction avec un produit.
Dans $A$ , on réduit une somme de deux termes $x$ . Dans $A'$ , on simplifie le produit $x\times x$ .
Dans $B$ , on additionne des termes en $x$ . Dans $B'$ , on multiplie les coefficients et les lettres.
Dans $C$ , on réduit une différence de termes en $x$ . Dans $C'$ , on simplifie un produit avec un facteur négatif.

Exercice-type 7CL.3.n°4

Simplifier puis réduire l’expression suivante.

$F=2x\times x+3\times x-5x-4\times3-x\times x+7$

CorrectionÉtape 0 sur 7

Rédaction attendue

F=2x\times x+3\times x-5x-4\times3-x\times x+7

Rédaction attendue

F=2x\times x+3\times x-5x-4\times3-x\times x+7

F=\CLTermSquare{2x^2}\CLTermLinear{+3x}\CLTermLinear{-5x}\CLTermConst{-12}\CLTermSquare{-x^2}\CLTermConst{+7}

F=\CLTermSquare{x^2}\CLTermLinear{-2x}\CLTermConst{-5}

Explications

On commence par simplifier les produits avant de réduire les termes de même nature.
On entoure les termes en $x^2$ avec leur signe.
On calcule les termes en $x^2$ : $2x^2-x^2=x^2$ .
On entoure ensuite les termes en $x$ avec leur signe.
On ajoute le résultat des termes en $x$ : $3x-5x=-2x$ .
On entoure enfin les constantes avec leur signe.
On ajoute le résultat des constantes : $-12+7=-5$ .

IV. Substituer une lettre par une valeur dans une expression littérale

A. Définition

On appelle calcul littéral tout calcul dans lequel des nombres sont remplacés par des lettres.

B.Calculer une expression pour des valeurs données

Méthode

Calculer une expression littérale pour une valeur donnée consiste à remplacer chaque lettre par cette valeur, puis à effectuer le calcul.

Quand un signe $\times$ est sous-entendu, on le réécrit généralement avant de calculer.

Exercice-type 8CL.4.n°1 CL.4.n°3

On considère un rectangle de longueur $L=7\,cm$ et de largeur $l=3\,cm$ .

1.Calculer son périmètre

\mathcal{P}

à l’aide de la formule

\mathcal{P}=2L+2l

2.Calculer son aire

\mathcal{A}

Rectangle de longueur

L=7\,cm

et de largeur

l=3\,cm

CorrectionÉtape 0 sur 2

Rédaction attendue

\mathcal{P}=2L+2l

\mathcal{P}=2\times L+2\times l

\mathcal{P}=2\times7\,cm+2\times3\,cm

\mathcal{P}=14\,cm+6\,cm

\mathcal{P}=20\,cm

\mathcal{A}=L\times l

\mathcal{A}=7\,cm\times3\,cm

\mathcal{A}=21\,cm^2

Explications

La formule donnée utilise l’écriture simplifiée $2L$ et $2l$ . Avant de remplacer les lettres par leurs valeurs, on réinsère les signes $\times$ : $2L=2\times L$ et $2l=2\times l$ . Le périmètre est une addition de longueurs en $cm$ , il s’exprime donc aussi en $cm$ .
L’aire est obtenue en multipliant des longueurs en $cm$ , on obtient donc des $cm^2$ .

V. Tester une égalité

A. Définition

Une égalité est constituée de deux membres séparés par le signe $=$ : son membre de gauche et son membre de droite.
L’égalité est vraie quand les deux membres ont la même valeur, et fausse sinon.

B. Méthode

Pour tester si une égalité est vraie pour une valeur donnée :

① On calcule le membre de gauche en remplaçant chaque lettre par le nombre donné.

② On calcule le membre de droite en remplaçant chaque lettre par le nombre donné.

③ On observe si les deux membres sont égaux ou non puis on conclut.

Exercice-type 9CL.4.n°2 CL.4.n°4

Tester l’égalité $x+2=2\times x-3$ pour les valeurs suivantes :

x=8

x=5

CorrectionÉtape 0 sur 6

Rédaction attendue

\underbrace{x+2}_{\text{membre de gauche}}=\underbrace{2\times x-3}_{\text{membre de droite}}

1.Pour $x=8$ :

① À gauche :

x+2=8+2=\TTYellow{10}

② À droite :

2\times x-3=2\times8-3=16-3=\TTYellow{13}

③ Les deux membres n’ont pas la même valeur ( $10\ne13$ ). L’égalité est donc fausse pour $x=8$ .

2.Pour $x=5$ :

① À gauche :

x+2=5+2=\TTYellow{7}

② À droite :

2\times x-3=2\times5-3=10-3=\TTYellow{7}

③ Les deux membres ont la même valeur $7$ . L’égalité est donc vraie pour $x=5$ .

Explications

On applique la première étape de la méthode : on calcule la valeur à gauche pour $x=8$ .
On applique la deuxième étape de la méthode : on calcule la valeur à droite pour $x=8$ .
Les deux membres n’ont pas la même valeur ( $10\ne13$ ), donc l’égalité est fausse pour $x=8$ .
On recommence la même méthode : on calcule d’abord la valeur à gauche pour $x=5$ .
On calcule ensuite la valeur à droite pour $x=5$ .
Les deux membres ont la même valeur $7$ , donc l’égalité est vraie pour $x=5$ .

VI. Développer un produit

A. Définition

Développer, c’est transformer un produit en somme ou en différence.

B.Développement simple

Propriété

Pour tous nombres relatifs $a$ , $b$ et $k$ :

k

\times

(

a

+

b

)

=

k

\times

a

+

k

\times

b

Remarques - Nombres relatifs

Dans la propriété, les nombres $a$ , $b$ et $k$ sont des nombres relatifs : ils peuvent donc être positifs ou négatifs.

Quand on développe $k(a+b)$ , le facteur $\textcolor{#dc2626}{k}$ multiplie chaque terme avec son signe.

Par exemple : $B=\textcolor{#dc2626}{-3}(x-4)=\textcolor{#dc2626}{-3}(x+(-4))$ .

Donc on distribue le facteur $\textcolor{#dc2626}{-3}$ sur $x$ , puis sur $-4$ .

Exercice-type 10CL.5.n°1 CL.5.n°2

Développer puis réduire les expressions suivantes :

A=7(x+4)

B=-3(x-4)

CorrectionÉtape 0 sur 8

Rédaction attendue

B

=

-3

\times

(

x

-4

)

B

=

\textcolor{#dc2626}{-3}\times x\textcolor{#dc2626}{-3}\times(-4)

B

=

-3x+12

Explications

Dans $A=\textcolor{#dc2626}{7}\times(x+4)$ , le facteur 7 multiplie chacun des termes de la parenthèse précédés de leur signe : $x$ puis $+4$ .
On multiplie le facteur 7 avec le premier terme de la parenthèse : $x$ .
On multiplie ensuite le facteur 7 avec le deuxième terme de la parenthèse : $+4$ . Le facteur 7 apparaît maintenant deux fois.
On simplifie l'expression en effectuant les multiplications.
Dans $B=\textcolor{#dc2626}{-3}\times(x-4)$ , le facteur distribué est $\textcolor{#dc2626}{-3}$ . Il multiplie chacun des termes de la parenthèse précédés de leur signe : $x$ puis $-4$ .
On multiplie le facteur $\textcolor{#dc2626}{-3}$ avec le premier terme de la parenthèse : $x$ .
On multiplie ensuite le facteur $\textcolor{#dc2626}{-3}$ avec le deuxième terme de la parenthèse : $-4$ . On rédige directement avec le signe moins : $\textcolor{#dc2626}{-3}\times x\textcolor{#dc2626}{-3}\times(-4)$ .
On simplifie l'expression en effectuant les multiplications.

C.Cas particulier : supprimer des parenthèses

Propriété

Pour tous nombres relatifs $a$ , $b$ et $c$ :

a+(b+c)=a+b+c

a-(b+c)=a-b-c

Quand on ajoute une expression entre parenthèses, on supprime les parenthèses sans changer les signes des termes.

Quand on soustrait une expression entre parenthèses, on supprime les parenthèses en prenant l’opposé de chaque terme.

Remarques

Dans une somme, un terme se lit avec le signe qui le précède.

Les lettres $a$ , $b$ et $c$ peuvent représenter des termes composés : un nombre, une lettre, un produit ou une puissance.

Dans $D=3+(-7x+5)$ , on peut reconnaître $a=3$ , $b=-7x$ et $c=5$ .

Dans $E=3x-(7x-12)$ , on peut reconnaître $a=3x$ , $b=7x$ et $c=-12$ , car $7x-12=7x+(-12)$ .

Exercice-type 11CL.5.n°3 CL.5.n°4

Réduire les expressions suivantes :

D=3+(-7x+5)

E=3x-(7x-12)

CorrectionÉtape 0 sur 6

Rédaction attendue

E

=

3x

-

(

7x

-

12

)

E=3x\textcolor{#dc2626}{-}7x\textcolor{#dc2626}{-}(-12)

E=3x-7x+12

E=-4x+12

Explications

Dans $D=3+(-7x+5)$ , on ajoute l’expression entre parenthèses.
On supprime les parenthèses sans changer le signe des termes.
On réduit l'expression.
On soustrait l'expression entre parenthèses.
On supprime les parenthèses en prenant l’opposé de chaque terme.
On réduit l'expression.

D.Développement double

Propriété

Pour tous nombres relatifs $\textcolor{#dc2626}{a}$ , $\textcolor{#16a34a}{b}$ , $c$ et $d$ :

(

a

+

b

)

(

c

+

d

)

=

a

\times

c

+

a

\times

d

+

b

\times

c

+

b

\times

d

Exercice-type 12CL.8.n°1 CL.8.n°2

Développer puis réduire les expressions suivantes :

A=(2x+3)(x+8)

B=(x-5)(-3x+2)

CorrectionÉtape 0 sur 14

Rédaction attendue

B

=

(

x

-5

)

(

-3x

+2

)

B

=

\textcolor{#dc2626}{x}\times(-3x)+\textcolor{#dc2626}{x}\times2\textcolor{#16a34a}{-5}\times(-3x)\textcolor{#16a34a}{-5}\times2

B

=

-3x^2+2x+15x-10

B

=

-3x^2+17x-10

Explications

On dessine les flèches et on entoure chaque terme sans oublier le signe qui le précède.
On multiplie le premier terme $\textcolor{#dc2626}{2x}$ de la première parenthèse avec le premier terme $x$ de la deuxième parenthèse.
On multiplie le premier terme $\textcolor{#dc2626}{2x}$ de la première parenthèse avec le deuxième terme $+8$ de la deuxième parenthèse. Dans la première parenthèse, le terme $2x$ peut s’écrire $+2x$ : comme ce produit s’ajoute au précédent, on écrit $+2x\times8$ .
On multiplie le deuxième terme $\textcolor{#16a34a}{+3}$ de la première parenthèse avec le premier terme $x$ de la deuxième parenthèse.
On multiplie le deuxième terme $\textcolor{#16a34a}{+3}$ de la première parenthèse avec le deuxième terme $+8$ de la deuxième parenthèse.
On simplifie les produits en effectuant les multiplications.
On réduit l'expression en veillant à ce qu'elle soit bien ordonnée du plus haut degré jusqu'aux constantes.
On multiplie le premier terme $\textcolor{#dc2626}{x}$ de la première parenthèse avec le premier terme $-3x$ de la deuxième parenthèse.
On multiplie le premier terme $\textcolor{#dc2626}{x}$ de la première parenthèse avec le deuxième terme $+2$ de la deuxième parenthèse. Dans la première parenthèse, le terme $x$ peut s’écrire $+x$ : comme ce produit s’ajoute au précédent, on écrit $+x\times2$ .
On multiplie le deuxième terme $\textcolor{#16a34a}{-5}$ de la première parenthèse avec le premier terme $-3x$ de la deuxième parenthèse.
On multiplie le deuxième terme $\textcolor{#16a34a}{-5}$ de la première parenthèse avec le deuxième terme $+2$ de la deuxième parenthèse.
On multiplie le deuxième terme $\textcolor{#16a34a}{-5}$ de la première parenthèse avec le deuxième terme $+2$ de la deuxième parenthèse.
On simplifie les produits en effectuant les multiplications.
On réduit l'expression en veillant à ce qu'elle soit bien ordonnée du plus haut degré jusqu'aux constantes.

VII. Factoriser une somme ou une différence à l'aide d'un facteur commun

A. Définition

Factoriser, c’est transformer une somme ou une différence en produit.

B. Propriété

Pour tous nombres relatifs $a$ , $b$ et $\textcolor{#dc2626}{k}$ :

\textcolor{#dc2626}{k}\times a+\textcolor{#dc2626}{k}\times b=\textcolor{#dc2626}{k}\times(a+b)

On dit que $\textcolor{#dc2626}{k}$ est un facteur commun.

Exercice-type 13CL.7.n°3 CL.7.n°5

Factoriser les expressions suivantes.

C=6x+6y

D=7x^2-2x

E=5x^2-5

F=18x^2-9x

Pour vérifier une factorisation, on redéveloppe mentalement l’expression factorisée et on vérifie que l’on retrouve l’expression de départ.

CorrectionÉtape 0 sur 17

Rédaction attendue

$C=6x+6y$

C=\textcolor{#dc2626}{6}\times x+\textcolor{#dc2626}{6}\times y

C=\textcolor{#dc2626}{6}\times(x+y)

C=\textcolor{#dc2626}{6}(x+y)

6 est un facteur commun

$D=7x^2-2x$

D=7\times x\times\textcolor{#dc2626}{x}-2\times\textcolor{#dc2626}{x}

D=\textcolor{#dc2626}{x}\times(7\times x-2)

D=\textcolor{#dc2626}{x}(7x-2)

x

est un facteur commun

$E=5x^2-5$

E=\textcolor{#dc2626}{5}\times x^2-\textcolor{#dc2626}{5}\times1

E=\textcolor{#dc2626}{5}\times(x^2-1)

E=\textcolor{#dc2626}{5}(x^2-1)

5 est un facteur commun

$F=18x^2-9x$

F=\textcolor{#dc2626}{9x}\times2x-\textcolor{#dc2626}{9x}\times1

F=\textcolor{#dc2626}{9x}\times(2x-1)

F=\textcolor{#dc2626}{9x}(2x-1)

x

est un facteur commun

Explications

On commence par lire les quatre expressions à factoriser.
Dans $C=6x+6y$ , on fait apparaître le facteur commun 6 dans les deux termes.
On place le facteur commun 6 devant la parenthèse, puis on écrit ce qui reste : $x$ et $y$ .
On enlève le signe $\times$ entre le facteur et la parenthèse.
On vérifie mentalement en redéveloppant l’expression obtenue :
$6$ $\times$ $($ $x$ $+$ $y$ $)$ $=$ $6$ $\times$ $x$ $+$ $6$ $\times$ $y$ $=$ $6x$ $+$ $6y$
Dans $D=7x^2-2x$ , on fait apparaître le facteur commun $x$ dans les deux termes.
On place le facteur commun $x$ devant la parenthèse. Il reste $7\times x$ puis $-2$ .
On simplifie $7\times x$ en $7x$ et on enlève le signe $\times$ devant la parenthèse.
On vérifie mentalement en redéveloppant l’expression obtenue :
$x$ $\times$ $($ $7x$ $-2$ $)$ $=$ $x$ $\times$ $7x$ $-$ $x$ $\times$ $2$ $=$ $7x^2$ $-$ $2x$
Dans $E=5x^2-5$ , on fait apparaître le facteur commun 5. Point important : le deuxième terme ne disparaît pas, car $5=5\times1$ .
On place le facteur commun 5 devant la parenthèse. Il reste $x^2$ dans le premier terme et $-1$ dans le deuxième.
On enlève le signe $\times$ entre le facteur et la parenthèse. Le $1$ est indispensable : il vient de $5\times1$ et il est précédé du signe $-$ .
On vérifie mentalement en redéveloppant l’expression obtenue :
$5$ $\times$ $($ $x^2$ $-1$ $)$ $=$ $5$ $\times$ $x^2$ $-$ $5$ $\times$ $1$ $=$ $5x^2$ $-$ $5$
Dans $F=18x^2-9x$ , on fait apparaître le facteur commun 9 $x$ . Point important : $9x=9x\times1$ , donc il restera un $1$ dans la parenthèse, précédé du signe $-$ .
On place le facteur commun 9 $x$ devant la parenthèse. Il reste $2x$ dans le premier terme et $-1$ dans le deuxième.
On enlève le signe $\times$ entre le facteur et la parenthèse. Le $-1$ vient de $9x\times1$ .
On vérifie mentalement en redéveloppant l’expression obtenue :
$9x$ $\times$ $($ $2x$ $-1$ $)$ $=$ $9x$ $\times$ $2x$ $-$ $9x$ $\times$ $1$ $=$ $18x^2$ $-$ $9x$

Remarques

Le facteur commun est parfois une expression composée entre parenthèses.

Exercice-type 14CL.9.n°1 CL.9.n°2

Factoriser les expressions suivantes.

G=(3x+2)(x-5)+(2x+1)(3x+2)

H=(6x+1)(5x-2)-(4x-10)(5x-2)

Quand le facteur commun est une expression entre parenthèses, on le met devant puis on regroupe les facteurs restants entre crochets.

CorrectionÉtape 0 sur 10

Rédaction attendue

$G=(3x+2)(x-5)+(2x+1)(3x+2)$

G=\textcolor{#dc2626}{(3x+2)}(x-5)+(2x+1)\textcolor{#dc2626}{(3x+2)}

G=\textcolor{#dc2626}{(3x+2)}\times[(x-5)+(2x+1)]

G=\textcolor{#dc2626}{(3x+2)}\times(3x-4)

G=\textcolor{#dc2626}{(3x+2)}(3x-4)

(3x+2) est un facteur commun

$H=(6x+1)(5x-2)-(4x-10)(5x-2)$

H=(6x+1)\textcolor{#dc2626}{(5x-2)}-(4x-10)\textcolor{#dc2626}{(5x-2)}

H=\textcolor{#dc2626}{(5x-2)}\times[(6x+1)-(4x-10)]

H=\textcolor{#dc2626}{(5x-2)}\times(6x+1-4x+10)

H=\textcolor{#dc2626}{(5x-2)}\times(2x+11)

H=\textcolor{#dc2626}{(5x-2)}(2x+11)

(5x-2) est un facteur commun

Explications

On commence par lire les deux expressions à factoriser. Ici, le facteur commun est une expression composée entre parenthèses.
Dans $G=(3x+2)(x-5)+(2x+1)(3x+2)$ , le facteur commun est toute l’expression $\textcolor{#dc2626}{(3x+2)}$ .
On place le facteur commun $\textcolor{#dc2626}{(3x+2)}$ devant les crochets. Il reste $(x-5)$ puis $(2x+1)$ , en gardant le signe $+$ .
On réduit ce qui est entre crochets : $(x-5)+(2x+1)=3x-4$ .
On enlève le signe $\times$ entre le facteur commun et la parenthèse.
Dans $H=(6x+1)(5x-2)-(4x-10)(5x-2)$ , le facteur commun est toute l’expression $\textcolor{#dc2626}{(5x-2)}$ .
On place le facteur commun $\textcolor{#dc2626}{(5x-2)}$ devant les crochets. Le signe $-$ reste devant le deuxième facteur restant.
On soustrait l’expression $(4x-10)$ : on prend donc l’opposé de chaque terme, car $-(4x-10)=-4x+10$ .
On réduit ce qui est entre crochets : $6x+1-4x+10=2x+11$ .
On enlève le signe $\times$ entre le facteur commun et la parenthèse.

VIII. Identités remarquables

A. Propriétés

Pour tous nombres relatifs $a$ et $b$ :

On les appellera IR1, IR2 et IR3.

\text{IR1 : }(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

\text{IR2 : }(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

\text{IR3 : }(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Exercice-type 15CL.11.n°15 CL.11.n°9

Développer ou factoriser les expressions suivantes :

C=(x+3)^2

D=(2x-7)^2

E=(x+4)(x-4)

F=25x^2-81

G=x^2-7

CorrectionÉtape 0 sur 14

Rédaction attendue

$C=(x+3)^2$

C=x^2+2\times x\times3+3^2

C=x^2+6x+9

$D=(2x-7)^2$

D=(2x)^2-2\times2x\times7+7^2

D=4x^2-28x+49

$E=(x+4)(x-4)$

E=x^2-4^2

E=x^2-16

$F=25x^2-81$

F=(5x)^2-9^2

F=(5x+9)(5x-9)

$G=x^2-7$

G=x^2-(\sqrt{7})^2

G=(x+\sqrt{7})(x-\sqrt{7})

Explications

On commence par lire les cinq expressions. Pour chaque expression, on identifie d’abord l’identité remarquable utilisée et les expressions qui jouent le rôle de $a$ et $b$ .
Dans $C=(x+3)^2$ , on reconnaît IR1 : $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ , avec $a=x$ et $b=3$ .
On remplace $a$ par $x$ et $b$ par $3$ dans IR1.
On simplifie : $2\times x\times3=6x$ et $3^2=9$ .
Dans $D=(2x-7)^2$ , on reconnaît IR2 : $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ , avec $a=2x$ et $b=7$ .
On remplace $a$ par $2x$ et $b$ par $7$ dans IR2.
On simplifie : $(2x)^2=4x^2$ , $2\times2x\times7=28x$ et $7^2=49$ .
Dans $E=(x+4)(x-4)$ , on reconnaît IR3 : $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ , avec $a=x$ et $b=4$ .
On remplace $a$ par $x$ et $b$ par $4$ dans IR3.
On simplifie : $4^2=16$ .
Dans $F=25x^2-81$ , on réécrit $25x^2$ sous la forme $(5x)^2$ et $81$ sous la forme $9^2$ . On reconnaît alors IR3 avec $a=5x$ et $b=9$ .
On remplace $a$ par $5x$ et $b$ par $9$ dans IR3.
Dans $G=x^2-7$ , le nombre $7$ n’est pas un carré parfait. Mais $7=(\sqrt{7})^2$ , donc on peut utiliser IR3 avec $a=x$ et $b=\sqrt{7}$ .
On remplace $a$ par $x$ et $b$ par $\sqrt{7}$ dans IR3.

Remarques

Pour s’aider, on commencera par identifier les expressions qui jouent le rôle de $a$ et $b$ .
Les identités remarquables peuvent être utilisées dans les deux sens : soit pour développer une expression et ainsi obtenir sa forme développée, soit pour la factoriser et ainsi obtenir sa forme factorisée.