Équations

Chapitre 8 : Equations

• Une équation est une égalité qui comporte au moins un nombre de valeur inconnue, généralement désigné

par une lettre. Cette égalité peut être vraie pour certaines valeurs de l’inconnue et fausse pour d’autres.

• Une solution d’une équation est une valeur de l’inconnue pour laquelle l’égalité est vraie.

• Résoudre une équation, c’est en trouver toutes les solutions.

✓ Exercice-type 1

Les nombres −5 et 5 sont-ils solutions de l’équation 3 + x = 8 + 2x ?

Pour x = −5 : ● À gauche : 3 + x = 3 + (−5) = −2 ● À droite : 8 + 2x = 8 + 2 × (−5) = −2

L’égalité est vraie pour x = −5 donc −5 est une solution de cette équation.

Pour x = 5 : ● À gauche : 3 + x = 3 + 5 = 8 ● À droite : 8 + 2x = 8 + 2 × 5 = 18

L’égalité n’est pas vérifiée pour x = 5 donc 5 n’est pas une solution de cette équation.

Une égalité reste vraie lorsqu’on ajoute (ou soustrait) un même nombre à chacun de ses deux membres.

Soient a, b et k trois nombres relatifs.

Si a = b , alors a + k = b + k et a − k = b − k

✓ Exercice-type 2 (Equations à résoudre en une étape par addition/soustraction)

● On veut résoudre l’équation x − 7 = 2 ● On veut résoudre l’équation 2 + x = 8

On ajoute 7 à chacun de ses deux membres : On soustrait 2 à chacun de ses deux membres :

x−7+7=2+7 2+x−2=8−2

x=9 x=6

L’ensemble S des solutions de cette équation est : L’ensemble S des solutions de cette équation est :

S = {9} S = {6}

● On veut résoudre l’équation −3x = −4x + 13 ● On veut résoudre l’équation 3x = 2x − 9

On ajoute 4x à chacun de ses deux membres : On soustrait 2x à chacun de ses deux membres :

−3x + 4x = −4x + 13 + 4x 3x − 2x = 2x − 9 − 2x

x = 13 x = −9

L’ensemble S des solutions de cette équation est : L’ensemble S des solutions de cette équation est :

S = {13} S = {−9}

Une égalité reste vraie lorsqu’on multiplie (ou divise) chacun de ses membres par un même nombre non nul.

Soient a, b et k trois nombres relatifs (k ≠ 0)

a b

Si a = b , alors a × k = b × k et =

k k

✓ Exercice-type 3 (Equations à résoudre en une étape par multiplication/division)

x ● On veut résoudre l’équation 3x = −1

● On veut résoudre l’équation =5

On divise par 3 chacun de ses deux membres :

On multiplie par 2 chacun de ses deux membres :

3x −1

x =

×2=5×2 3 3

x =−

x = 10 3

L’ensemble S des solutions de cette équation est : L’ensemble S des solutions de cette équation est :

S = {10} 1

S = {− }

x ● On veut résoudre l’équation −7x = 2

● On veut résoudre l’équation =8

−3

On divise par −7 chacun de ses deux membres :

On multiplie par −3 chacun de ses deux membres :

−7x 2

x =

× (−3) = 8 × (−3) −7 −7

−3

x =−

x = −24 7

L’ensemble S des solutions de cette équation est : L’ensemble S des solutions de cette équation est :

S = {−24} 2

S = {− }

✓ Exercice-type 4 (Equations à résoudre en deux étapes ou plus)

● On veut résoudre l’équation 5x + 3 = 0 ● On veut résoudre l’équation 4x − 8 = −6x + 4

On soustrait 3 à chacun de ses deux membres : On ajoute 6x à chacun de ses deux membres :

5x + 3 − 3 = 0 − 3 4x − 8 + 6x = −6x + 4 + 6x

5x = −3

10x − 8 = 4

On divise par 5 chacun de ses deux membres :

5x −3 On ajoute 8 à chacun de ses deux membres :

=

5 5 10x − 8 + 8 = 4 + 8

x =− 10x = 12

L’ensemble S des solutions de cette équation est : On divise par 10 chacun de ses deux membres :

S = {− } 10x 12

5 =

10 10

● On veut résoudre l’équation −7x − 9 = 0

On ajoute 9 à chacun de ses deux membres : x=

10

−7x − 9 + 9 = 0 + 9

x = 1,2

−7x = 9

L’ensemble S des solutions de cette équation est :

On divise par −7 chacun de ses deux membres :

S = {1,2}

−7x 9

=

−7 −7

x =−

L’ensemble S des solutions de cette équation est :

S = {− }

On considère un produit de deux facteurs :

• Si au moins l’un des facteurs est nul, alors ce produit est nul.

• Si ce produit est nul, alors au moins l’un de ses facteurs est nul.

✓ Exercice-type 5

Equation produit (ou produit nul)

Résoudre l’équation (3x + 4)(2x − 3) = 0

Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul : Phrase obligatoire

3x + 4 = 0 ou 2x − 3 = 0

3x = −4 ou 2x = 3

Résolution de chacune des deux équations simultanément

4 3

x =− ou x =

3 2

4 3

L’ensemble S des solutions de cette équation est S = {− ;

3 2}

Pour se ramener à une équation produit, il est parfois nécessaire de factoriser une expression.

✓ Exercice-type 6

Résoudre l’équation x 2 + 7x = 0

On s’est ramené à une équation produit

On factorise le membre de gauche et on obtient : x(x + 7) = 0

Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul :

x = 0 ou x + 7 = 0

x=0 ou x = −7

L’ensemble S des solutions de cette équation est S = {0 ; −7}

Soit a un nombre.

• Si a > 0, alors les solutions de l’équation x 2 = a sont √a et −√a.

• Si a = 0, alors la solution de l’équation x 2 = a est 0.

• Si a < 0, alors l’équation x 2 = a n’a pas de solution.

✓ Exercice-type 7

● L’équation x 2 = 9 a deux solutions : √9 = 3 et −√9 = −3.

L’équation x 2 = 7 a deux solutions : √7 et −√7.

● L’équation x 2 = 0 a une unique solution : 0.

● L’équation x 2 = −1 n’a aucune solution.

✓ Démonstration de la propriété par disjonction des cas :

1er cas : a < 0

x2 = a

Le carré d’un nombre relatif est toujours positif, car le produit de deux nombres de même signe est positif. Il ne peut

donc exister de nombre dont le carré soit égal à un nombre négatif. Cette équation n’a donc aucune solution.

2ème cas : a = 0

x2 = 0

x × x = 0

Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul :

x = 0 (on n’écrira pas ici « ou x = 0 », puisqu’il s’agit de la même solution)

L’ensemble S des solutions de cette équation est S = {0}

3ème cas : a > 0

x^2 = a

x^2 − a = 0

a étant positif, par définition, √a est le nombre dont le carré vaut a. Donc a = ( √a )²

L’équation x^2 = a peut ainsi aussi s’écrire x 2 − ( √a ) = 0.

On reconnait, dans le membre de gauche, une identité remarquable de la forme a^2 − b^2. Par conséquent, l’équation

peut aussi s’écrire :

( x + √a )( x − √a ) = 0 On reconnait une équation produit

Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul :

x + √a = 0 ou x − √a = 0

x = −√a ou x = √a

L’ensemble S des solutions de cette équation est S = {−√a; √a}

Pour modéliser une situation à l’aide d’une équation, on suit les étapes suivantes :

① Choix de l’inconnue

On choisit l’inconnue, généralement notée x, en fonction de ce que l’on cherche.

② Mise en équation

On traduit les données de l’énoncé du problème par une équation.

③ Résolution de l’équation

On résout l’équation en utilisant les propriétés du cours.

④ Conclusion

On interprète le résultat en rédigeant une phrase.

✓ Exercice-type 8

Agnès a 3 ans de moins que Soukayna, et Xander a le double de l’âge d’Agnès.

A eux trois, ils ont 107 ans.

Quel est l’âge d’Agnès ?

① Choix de l’inconnue

On choisit l’inconnue : on note x l’âge d’Agnès.

② Mise en équation

Agnès a 3 ans de moins que Soukayna, donc Soukayna a 3 ans de plus qu’Agnès.

Ainsi l’âge de Soukayna est égal à x + 3.

Xander a le double de l’âge d’Agnès, donc l’âge de Xander est égal à 2x.

La somme de leurs âges est donc égale à x + x + 3 + 2x.

Mais on sait également, qu’à eux trois, ils ont 107 ans.

On peut donc écrire l’équation : x + x + 3 + 2x = 107.

③ Résolution de l’équation

x + x + 3 + 2x = 107

4x + 3 = 107

−3 −3 On soustrait 3 aux deux membres

4x = 104

÷4 ÷4 On divise par 4 chaque membre

x = 26

④ Conclusion

Agnès a 26 ans.