Nombres et calculs
ExplicationsComprendre la démarche
Rédaction attendueCe qu'il faut écrire
CalculatriceVérifier avec l'outilHorsprogrammeHors programmePour aller plus loinCarte liéeExercice associé à l'ETChapitre 6 : Nombres rationnels
Soient a et b deux nombres relatifs (b ≠ 0).
a
• Le quotient de a par b est le nombre qui, multiplié par b, est égal à a. ×b=a
b
a
• Si a et b sont des nombres entiers, on dit que est une fraction.
b
a
• Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire comme une fraction, c’est-à-dire sous la forme où a
b
et b sont des entiers relatifs (avec b ≠ 0).
Lorsqu’on multiplie ou divise le numérateur ET le dénominateur d’un quotient par un même nombre non nul,
on obtient un quotient qui lui est égal.
Soient a, b et k trois nombres relatifs (b ≠ 0 et k ≠ 0) :
a a×k a a÷k
= b × k et b = b ÷ k
b
✓ Exemples
0,3 0,3 × 10 3 0,3 3 25 25 ÷ 5 5
•
= 4 × 10 = 40 Donc 4 = 40 • − 35 = − 35 ÷ 5 = − 7 D’où − 25
= − 57
• Réduire une fraction consiste à obtenir une fraction qui lui est égale, mais avec un numérateur et un
dénominateur entiers plus petits.
• Rendre une fraction irréductible consiste à obtenir la fraction qui lui est égale, mais avec le numérateur et
le dénominateur les plus petits possibles. Autrement dit, une fraction est irréductible si le seul diviseur positif
commun au numérateur et au dénominateur est 1.
✓ Exemple
• est une fraction irréductible car le seul diviseur positif commun à 5 et 8 est 1.
Pour rendre une fraction irréductible, on peut, au choix :
• Réduire la fraction en plusieurs étapes, jusqu’à ce qu’on ne puisse plus la réduire ;
• Décomposer le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers puis simplifier.
✓ Exemple
• On cherche la forme irréductible de .
24 24 ÷ 2 12 12 ÷ 2 6 6 ÷3 2 24 2×2×2×3 2
= 36 ÷ 2 = 18 = 18 ÷ 2 = 9 = 9 ÷ 3 = 3 ou = 2×2×3×3 = 3
36 36
• Un nombre négatif est plus petit qu’un nombre positif.
• Si deux nombres sont positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro.
• Si deux nombres sont négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro.
✓ Exemples
Soient a, b, c trois nombres positifs (c ≠ 0).
a b
Si a < b alors <
c c
✓ Exemple
12 19 12 19
On veut comparer les fractions et . Comme 12 < 19, alors < .
7 7 7 7
Soient a et b deux nombres relatifs.
−a −b
Si a < b alors −a > −b donc >
c c
✓ Exemple
−12 −19 −12 −19
On veut comparer les fractions
et
. Comme 12 < 19, alors −12 > −19 donc
>
.
• Pour comparer deux quotients de dénominateurs différents, on les écrit d’abord avec le même
dénominateur.
• Pour trouver un dénominateur commun à deux quotients, il faut chercher un multiple commun (de
préférence le plus petit possible) aux deux dénominateurs.
✓ Exemple :
3 7
• On souhaite comparer les fractions et . Le plus petit multiple commun à 25 et 100 est 100, donc on
25 100
doit d’abord écrire les deux fractions en centièmes :
3 3×4 12 12 7 3 7
= = . Or > donc >
25 25×4 100 100 100 25 100
Pour additionner (ou soustraire) deux quotients de même dénominateur :
• On additionne (ou on soustrait) les numérateurs
• On GARDE le dénominateur commun
a, b et c désignent des nombres relatifs (c ≠ 0)
a b a+b a b a−b
+ = et − =
c c c c c c
✓ Exemples
11 5 11+5 16 11 7 11−7 4
• + = = • −3 = =3
3 3 3 3 3 3
Pour additionner (ou soustraire) deux quotients de dénominateurs différents :
• On doit D’ABORD les écrire avec le même dénominateur (voir III. B. Méthode)
• On utilise ENSUITE la règle avec le même dénominateur (voir IV. A. Règle avec le même dénominateur)
✓ Exemples
• Le plus petit multiple commun à 2 et 4 est 4, donc on doit d’abord écrire les deux fractions en quarts :
1 1 1×2 1 2 1 −2 1 −2+1 −1 1
− 2 + 4 = − 2×2 + 4 = − 4 + 4 = 4 + 4 = = 4 = −4
• Le plus petit multiple commun à 5 et 4 est 20, donc on doit d’abord écrire les deux fractions en
vingtièmes :
2 1 2×4 1×5 8 5 8−5 3
− = − = − = =
5 4 5 × 4 4 × 5 20 20 20 20
• Pour multiplier deux quotients, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
a c a×c
a, b, c et d désignent des nombres relatifs (b ≠ 0 et d ≠ 0) : × =
b d b×d
c a c a×c a×c c a×c
• Cas particulier (avec b = 1 ou d = 1) : a × = × = = En résumé, a × = d
d 1 d 1×d d d
✓ Exemples
5 −11 5×(−11) −55
• × = =
6 7 6×7 42
3,2 15 3,2 15×3,2 48 16 3,2 15×3,2 48 16
• 15 × = × = = = ou plus simplement 15 × = = =
9 1 9 1×9 9 3 9 9 9 3
Pour calculer une fraction d’un nombre (ou d’une quantité), on multiplie la fraction par ce nombre (ou par
cette quantité).
✓ Exemple
3 3×6 18
• Prendre les trois cinquièmes de 6 L, c’est calculer ×6L = L= L
5 5 5
• Pour faciliter les calculs, il est parfois astucieux de décomposer les facteurs au numérateur et au
dénominateur en produits de facteurs premiers pour simplifier AVANT d’effectuer les multiplications.
✓ Exemples
32 55 32×55 2×2×2×2×2×5×11 2×11 22
• × = = = =
30 24 30×24 3×5×2×3×2×2×2 3×3 9
5 4×5 2×2×5 5 5
• 4× = = = =
32 32 2×2×2×2×2 2×2×2 8
Deux nombres relatifs sont inverses l’un de l’autre lorsque leur produit est égal à 1.
✓ Exemples
• 2 et 0,5 sont inverses car 2 × 0,5 = 1 EF • −0,1 et −10 sont inverses car −0,1 × (−10) = 1
a et b désignent des nombres relatifs non nuls.
• L’inverse d’un nombre a est le nombre
a
a b
• L’inverse d’un nombre est le nombre
b a
✓ Exemples
1 1
• L’inverse de −2 est , c’est-à-dire − ou encore −0,5 car −2 × (−0,5) = 1
−2 2
2 1 3 2 3
• L’inverse de est 2 = car × = 1
3 2 3 2
a, b, c et d désignent des nombres relatifs (b ≠ 0 ; c ≠ 0 ; d ≠ 0)
• Diviser par un nombre relatif (non nul) revient à multiplier par son inverse : a÷b=a×
b
• Cas particulier : Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
a
a c a d b a d
÷ = × ce qui peut aussi s’écrire : c = ×
b d b c b c
d
✓ Exemples
1 8 1 2
• −8 ÷ (−3) = −8 × = • 6 ÷ 0,5 = 6 ÷ =6× = 6 × 2 = 12
−3 3 2 1
2 7 2 −5 −10 7
• ÷ −5 = 3 × 7 = 21 3 7 5 35
3 • −4 = 3 × −4 = − 12
• Multiplier un nombre par revient à le diviser par 2.
• Diviser un nombre par revient à le multiplier par 2.
✓ Démonstration
Soit a un nombre relatif.
1 a×1 a
• a× = = = a÷2
2 2 2
1 2
• a÷ = a× = a×2
2 1