Probabilités

Chacun des résultats possibles d'une expérience s'appelle une issue de l'expérience.

L'outil le plus pratique pour représenter chacune des issues est l'arbre.

• Expérience 1 : Pile ; Face. L'expérience 1 a ... issues.
• Expérience 2 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6. L'expérience 2 a ... issues.
• Expérience 3 : Bleue ; Rouge ; Verte. L'expérience 3 a ... issues.

Un événement est défini par une condition conduisant à ensemble d'issues.

• Dans l'expérience 2, l'évènement « on obtient un nombre impair » est réalisé par ... issues : ...
• Dans l'expérience 3, l'évènement « on n'obtient pas de boule rouge » est réalisé par ... issues : ...

• Un évènement réalisé par une seule issue est appelé évènement élémentaire. Exemple : dans l'exp°1, « on obtient pile » est un événement élémentaire (réalisé par une seule issue).
• Un évènement est dit impossible s'il ne peut pas se produire. Exemple : dans l'exp°2, l'évènement « on obtient 11 » est un évènement impossible.
• Un évènement est dit certain s'il se produit nécessairement. Exemple : dans l'exp°2, l'évènement « on obtient un nombre inférieur à 7 » est un évènement certain.

A tout événement E, on associe un nombre compris entre 0 et 1 qui « mesure » les chances que l'évènement se réalise.

Ce nombre s'appelle la probabilité de l'évènement E et se note p(E).

Dans l'expérience 1, la probabilité de l'évènement A : « obtenir pile » est d'une chance sur deux.

Ainsi,

ou 0{,}5 ou 50\,\%.

La probabilité d'un évènement impossible est 0. La probabilité d'un évènement certain est 1.

Lorsque les issues ont autant de chances de se produire (comme dans les deux premières exp°), on parlera de situation d'équiprobabilité. Dans ce cas-là, on dispose de la formule ci-dessous :

On peut utiliser un arbre pondéré en probabilité.

• Expérience 1 : Pile a pour probabilité \frac12 ; Face a pour probabilité \frac12.
• Expérience 2 : chacune des issues 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 a pour probabilité \frac16.
• Expérience 3 : Bleue a pour probabilité \frac24 ; Rouge a pour probabilité \frac14 ; Verte a pour probabilité \frac14.

Que la situation soit équiprobable ou pas, on retiendra que la somme des probabilités de tous les évènements élémentaires est égale à 1.

Deux évènements sont incompatibles s'ils ne peuvent se réaliser en même temps.

Dans l'expérience 2, l'évènement E « on obtient 6 » et l'évènement F « on obtient 4 » sont incompatibles.

Dans l'exp°2, la probabilité de l'évènement G « on obtient 4 ou 6 » est :

L'évènement contraire d'un évènement A est celui qui se réalise quand A ne se réalise pas.

On le note « non A » ou \overline{A} (se lit « A barre »).

Dans l'expérience 2, l'évènement contraire \overline{E} est « on n'obtient pas 6 ».

Dans l'exp° 2, la probabilité de l'évènement G « on obtient 4 ou 6 » est :

Si une expérience aléatoire est constituée de 2 épreuves indépendantes, elle peut être représentée par un arbre pondéré.

Lionel Messi réussit les trois quarts de ses dribbles. Lorsqu'il réussit son dribble, le défenseur tombe trois fois sur dix. Face à un dribble de Lionel Messi, quelle est la probabilité que le défenseur tombe ?