Pr.

Organisation et gestion de données

Proportionnalité

Icônes à identifier

ExplicationsComprendre la démarche

Rédaction attendueCe qu'il faut écrire

CalculatriceVérifier avec l'outilHorsprogrammeHors programmePour aller plus loinCarte liéeExercice associé à l'ET

I. Reconnaitre une situation de proportionnalité

A.Définition de deux grandeurs proportionnelles

Application - Transcription source à homogénéiser

Chapitre 4 : Proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant (ou divisant) les valeurs

de l’autre par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité.

B.Méthodes pour déterminer si deux grandeurs sont proportionnelles

Application - Transcription source à homogénéiser

Pour déterminer si deux grandeurs sont proportionnelles, on peut :

• Chercher si l’on obtient les valeurs de la 2e grandeur en multipliant les valeurs de la 1e grandeur par le même

nombre. Ce nombre est alors le coefficient de proportionnalité.

• Vérifier que la représentation graphique d’une grandeur en fonction de l’autre est constituée de points

alignés avec l’origine du repère.

✓ Exercices-types 1 et 2

Pour chacune des deux situations suivantes, le prix est-il proportionnel au nombre de bonbons achetés ?

Exercice-type 1 : Exercice-type 2 :

Trois amis vont chez un marchand X pour acheter leur bonbon Trois amis vont chez un marchand Y pour acheter leur bonbon

commun favori. Le premier achète 5 bonbons et paye 0,75 €, le commun favori. Le premier achète 5 bonbons et paye 2,50 €, le

deuxième en achète 7 pour 1,05 € et le troisième en achète 13 deuxième en achète 7 pour 2,70 € et le troisième en achète 13

pour 1,95 €. Le marchand facture 0,15 € par bonbon. pour 3,30 €. Le marchand facture 2 € auquel il ajoute 0,10 € par

On peut représenter la situation dans un tableau de bonbon.

proportionnalité : On peut représenter la situation dans un tableau de

proportionnalité :

Nombre de bonbons 5 7 13

×? Nombre de bonbons 5 7 13

Prix (en €) 0,75 1,05 1,95

×?

Prix (en €) 2,5 2,7 3,3

Cherchons si l’on multiplie toujours par le même nombre les

valeurs de la 1e ligne pour obtenir celles de la 2e ligne. Cherchons si l’on multiplie toujours par le même nombre les

valeurs de la 1e ligne pour obtenir celles de la 2e ligne.

$0$ , $7$ $5$ 0,75

$5$ × = $0$ , $7$ $5$ et = $0$ , $1$ $5$

$5$ 5 $2$ , $5$ 2,5

$5$ × = $2$ , $5$ et = $0$ , $5$

$1$ , $0$ $5$ 1,05 $5$ 5

$7$ × = $1$ , $0$ $5$ et = $0$ , $1$ $5$

$7$ 7 $2$ , $7$ 2,7

$7$ × = $2$ , $7$ et ≈ $0$ , $3$ $9$

$1$ , $9$ $5$ 1,95 $7$ 7

$1$ $3$ × = $1$ , $9$ $5$ et = $0$ , $1$ $5$

$1$ $3$ 13 On peut s’arrêter au calcul du deuxième quotient. Les quotients

ne sont pas égaux, donc ce tableau n’est pas un tableau de

Tous les quotients sont égaux à $0$ , $1$ $5$ , donc ce tableau est un

proportionnalité et le prix n’est pas proportionnel au nombre

tableau de proportionnalité et le prix est proportionnel au

de bonbons achetés.

nombre de bonbons achetés, avec $0$ , $1$ $5$ pour coefficient de

● Représentation graphique des grandeurs l’exercice-type 2

proportionnalité (qui correspond au prix d’un bonbon).

Prix (en €)

● Représentation graphique des grandeurs l’exercice-type 1

Prix (en €)

Nombre de bonbons

Les points de la courbe sont alignés avec l’origine du repère. Les points de la courbe ne sont pas alignés avec l’origine

Les grandeurs sont proportionnelles. O du repère. Les grandeurs ne sont pas proportionnelles. 1

II. Exploiter une situation de proportionnalité

A.Calculer une quatrième proportionnelle

Application - Transcription source à homogénéiser

Dans une situation de proportionnalité, on peut calculer une quatrième proportionnelle à l’aide du coefficient

de proportionnalité ou de l’égalité des produits en croix.

Soient $a$ , $b$ et $c$ trois nombres connus ( $a$ ≠ 0) et $x$ la quatrième proportionnelle que l’on cherche à calculer.

$b$

Avec le coefficient de proportionnalité : Avec l’égalité des produits en croix :

$a$

$a$ $c$ $b$ $a$ $x$ $b$ $a$ $c$

× ÷ OU

$b$ $x$ $a$ $b$ $c$ $a$ $b$ $x$

$b$ $b$ $b$ × $c$

$x$ = $c$ × $x$ = $c$ ÷ $x$ × $a$ = $b$ × $c$ donc $x$ =

$a$ $a$ $a$

✓ Exercice-type 3

24 boîtes identiques pèsent 32 kg. Combien pèsent 15 boîtes ? Combien de boîtes pèsent au total 280 kg ?

On peut représenter la situation dans un tableau de proportionnalité :

$3$ $2$ Quantité de boîtes $2$ $4$ $1$ $5$ $y$ $3$ $2$

÷ ×

$2$ $4$ Masse (en kg) $3$ $2$ $x$ $2$ $8$ $0$ $2$ $4$ On n’utilise pas une valeur

approchée du coefficient

Avec le coefficient de proportionnalité : de proportionnalité pour

$3$ $2$ $3$ $2$ calculer : 32 ÷ 24 ≈ 1,33

$x$ = $1$ $5$ × = 20 $y$ = $2$ $8$ $0$ ÷ = 210

$2$ $4$ $2$ $4$

Avec l’égalité des produits en croix :

$3$ $2$ × $1$ $5$ $2$ $4$ × $2$ $8$ $0$

$x$ × $2$ $4$ = $3$ $2$ × $1$ $5$ donc $x$ = = 20 $y$ × $3$ $2$ = $2$ $4$ × $2$ $8$ $0$ donc $y$ = = 210

$2$ $4$ $3$ $2$

Conclusion : 15 boites pèsent 20 kg et 210 boites pèsent 280 kg.

B.Partager une quantité selon un ratio

Application - Transcription source à homogénéiser

Soient $a$ , $b$ , $i$ et $j$ des nombres strictement positifs.

$a$ $b$

• On dit que les nombres $a$ et $b$ sont dans le ratio $i$ : $j$ (lire « $i$ pour $j$ ») si =

$i$ $j$

✓ Exercice-type 4

Un sac de billes contenant 14 billes est partagé entre Jean et Esteban dans un ratio 3 : 4.

Combien de billes ont reçu Jean et Esteban ?

Partager dans un ratio 3 : 4, cela veut dire que Jean reçoit 3 billes quand Esteban en reçoit 4. C’est un partage

inégal.

Pour un sac de 14 billes, représentons les tours de distribution :

La quantité de billes de Jean

Jean Esteban partagée en 3 est égale à la

1er tour de distribution : quantité de billes d’Esteban

2e tour de distribution : partagée en 4.

$3$ $4$

Comme $3$ + $4$ = 7, Jean a reçu des billes et Esteban en a reçu (le dénominateur a été obtenu en

7 7

additionnant le nombre de parts de Jean et d’Esteban).

$3$ $4$

Pour un sac de 14 billes, Jean reçoit donc × $1$ $4$ = $6$ billes quand Esteban reçoit × $1$ $4$ = $8$ billes.

$7$ $7$

III. Utiliser des pourcentages

A.Proportion et pourcentage

Application - Transcription source à homogénéiser

• Soit A un ensemble appelé population ayant un nombre $a$ d’éléments ( $a$ non nul) et B une partie de

l’ensemble A, une sous-population, ayant un nombre $b$ d’éléments.

$b$ $n$ $o$ $m$ $b$ $r$ $e$ $d$ ′ é $l$ é $m$ $e$ $n$ $t$ $s$ $d$ $e$ 𝑩

La proportion de B par rapport à A est le nombre défini par le rapport $p$ = $a$ =

$n$ $o$ $m$ $b$ $r$ $e$ $d$ ′ é $l$ é $m$ $e$ $n$ $t$ $s$ $d$ $e$ 𝑨

• Un pourcentage est une proportion exprimée par rapport à 100.

✓ Exercice-type 5

Dans une classe de 25 élèves, il y a 13 filles.

Donner la proportion de filles dans cette classe, puis exprimer cette proportion en pourcentage.

La proportion de filles dans cette classe est $p$ = .

13 13×4 52

Or = = = 52 % Il y a donc 52 % de filles dans cette classe.

25 25×4 100

B.Calculer le pourcentage d’une quantité

Application - Transcription source à homogénéiser

Soit $t$ un nombre positif.

$t$

Calculer $t$ % d’une quantité, c’est multiplier cette quantité par .

✓ Exercice-type 6

Un yaourt de 125 g comporte 14% de matière grasse.

Quelle masse de matière grasse y a-t-il dans ce yaourt ?

On calcule 14% de 125 g : × 125 g = 0,14 × 125 g = 17,5 g

Dans ce yaourt de 125 g, il y a 17,5 g de matière grasse.

C.Calculer une augmentation ou une réduction

Application - Transcription source à homogénéiser

Soit $t$ un nombre positif.

$t$

• Augmenter une quantité de $t$ %, c’est la multiplier par $1$ + .

$1$ $0$ $0$

$t$

• Réduire une quantité de $t$ %, c’est la multiplier par $1$ − .

$1$ $0$ $0$

Le nombre par lequel on multiplie la quantité est appelé le coefficient multiplicateur.

✓ Exercice-type 7

Un pantalon est vendu initialement à 20 €.

Pour améliorer son chiffre d’affaires, le vendeur décide d’augmenter son prix de 10%.

1. Quel est son prix après augmentation ?

20 × (1 + ) = 20 × 1,10 = 22 Le nouveau prix du pantalon est 22 €.

Plus tard pendant l’année, pendant les soldes, le vendeur décide de réduire le prix du pantalon de 10%.

2. Quel est son prix soldé ?

22 × (1 − 100) = 22 × 0,90 = 19,80 Le prix soldé du pantalon est 19,80 €.

On remarque que si une quantité augmente de 10 % puis diminue de 10 %, alors elle n’est pas égale à

sa valeur de départ ! En effet, après une hausse de 10 % puis une baisse de 10 %, le pantalon qui

coutait initialement 20 € ne coute désormais plus que 19,80 €.