Dans un triangle rectangle, le plus grand côté s'appelle l'hypoténuse.
TP.
Géométrie
Pythagore
Icônes à identifier
ExplicationsComprendre la démarche
Rédaction attendueCe qu'il faut écrire
CalculatriceVérifier avec l'outilHorsprogrammeHors programmePour aller plus loinCarte liéeExercice associé à l'ETI. Vocabulaire
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit.
Dans le triangle ABC rectangle en C, l'hypoténuse est le côté [AB].
C'est le plus grand côté du triangle ABC et le côté opposé à l'angle droit \widehat{BCA}.
II. Racine carrée d'un nombre positif
Soit n un nombre positif.
La racine carrée de n est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, est égal à n.
Ce nombre est noté \sqrt n.
- La racine carrée d'un nombre est toujours positive : pour tout nombre positif n, \sqrt n\ge0.
- Pour tout nombre positif n, (\sqrt n)^2=\sqrt n\times\sqrt n=n.
- Pour tout nombre positif n, la longueur du côté d'un carré d'aire n est égale à \sqrt n.
- \sqrt9=3. Le nombre positif qui, multiplié par lui-même, est égal à 9 est 3 : 3\times3=3^2=9.
- Certaines racines carrées n'admettent pas d'écriture décimale, on peut en donner une valeur approchée. Par exemple : \sqrt2\approx1{,}4142.
- La longueur du côté d'un carré d'aire n=16 (en cm^2) est \sqrt n=\sqrt{16}=4 (en cm).
III. Déterminer une longueur dans un triangle rectangle
A.Énoncé du théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit.
En nommant les sommets du triangle, le théorème peut se reformuler ainsi :
\text{Si un triangle }ABC\text{ est rectangle en }C,\text{ alors }AB^2=AC^2+CB^2
- Le théorème de Pythagore sert à calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle lorsque l'on connaît la longueur des deux autres côtés.
- Attention à ne pas oublier les carrés sur les longueurs des côtés dans l'égalité de Pythagore !
- Attention à toujours vérifier que le triangle est rectangle avant d'utiliser le théorème !
Dans le triangle DEF, calculer la longueur EF.
CorrectionÉtape 0 sur 8
Dans le triangle GHI, calculer la longueur HG.
CorrectionÉtape 0 sur 9
Revoir les cartes V.3. sur les arrondis si besoin !
Dans certains exercices, la racine carrée trouvée n'est pas un nombre décimal, on parle de nombre irrationnel.
On distinguera alors la valeur exacte de la longueur (écrite avec le radical \sqrt{}) et l'arrondi de cette longueur.
HG^2=120
HG=\sqrt{120}\approx10{,}95
La longueur HG est égale à \sqrt{120}\,cm, soit arrondie au centième environ égale à 10{,}95\,cm.
IV. Déterminer si un triangle est rectangle
A.Réciproque du théorème de Pythagore
Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
Dans un triangle ABC de plus grand côté [AB], la réciproque du théorème se reformule ainsi :
\text{Si }AB^2=AC^2+CB^2,\text{ alors le triangle }ABC\text{ est rectangle en }C.
B.Contraposée du théorème de Pythagore
Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle n'est pas rectangle.
Dans un triangle ABC de plus grand côté [AB], la contraposée du théorème se reformule ainsi :
\text{Si }AB^2\ne AC^2+CB^2,\text{ alors le triangle }ABC\text{ n'est pas rectangle.}
C.Méthode pour déterminer si un triangle est rectangle ou non
- On identifie le plus grand côté du triangle.
- On calcule séparément le carré de la longueur du plus grand côté et la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
- On compare les résultats des calculs et on conclut en citant la réciproque ou la contraposée.
Le triangle RST ci-contre est-il rectangle ?
CorrectionÉtape 0 sur 4
Le triangle IJK ci-contre est-il rectangle ?
CorrectionÉtape 0 sur 4
À la différence du théorème, la réciproque et la contraposée du théorème servent à savoir si un triangle est rectangle ou non lorsque l'on connaît déjà la longueur des 3 côtés du triangle.