TT.

Géométrie

Le théorème de Thalès

Icônes à identifier

ExplicationsComprendre la démarche

Rédaction attendueCe qu'il faut écrire

CalculatriceVérifier avec l'outilHorsprogrammeHors programmePour aller plus loinCarte liéeExercice associé à l'ET

I. Calculer des longueurs avec le théorème de Thalès

A. Théorème de Thalès

Si :

les points $A$ , $B$ , $M$ d’une part et $A$ , $C$ , $N$ d’autre part sont alignés ;
les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles.

\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}

Alors :

B. Remarques

L'égalité de rapports $\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{BC}{MN}$ est également vraie.
Les longueurs des côtés correspondants du triangle $ABC$ et $AMN$ sont proportionnelles.
Le triangle $ABC$ est un agrandissement ou une réduction du triangle $AMN$ .

Exercice-type 1TT.1.n°1 TT.1.n°3

Dans la figure ci-contre, les droites $(SG)$ et $(FH)$ se coupent en $T$ et les droites $(GH)$ et $(SF)$ sont parallèles.

Calculer la longueur $TS$ .

CorrectionÉtape 0 sur 4

Rédaction attendue

1^re étape : conditions d’utilisation

•Les points $T$ , $G$ , $S$ d’une part et $T$ , $H$ , $F$ d’autre part sont alignés.

•Les droites $(GH)$ et $(SF)$ sont parallèles.

2^e étape : égalité des rapports

D’après le théorème de Thalès, on a :

\dfrac{\ThalesUnknownLength{TS}}{\ThalesKnownLength{TG}}=\dfrac{\ThalesKnownLength{TF}}{\ThalesKnownLength{TH}}=\dfrac{SF}{GH}

3^e étape : calcul

On remplace et on obtient :

\frac{TS}{3}=\frac{5}{2}

Par produit en croix :

TS\times2=3\times5

\text{Donc }TS=\frac{3\times5}{2}=7{,}5

La longueur $TS$ est égale à $7{,}5\,cm$ .

Explications

On vérifie les conditions d’utilisation du théorème de Thalès.
Le sommet commun est $T$ : les quatre premières longueurs commencent par $T$ .
On repère la longueur cherchée $\ThalesUnknownLength{TS}$ et les longueurs connues $\ThalesKnownLength{TG}$ , $\ThalesKnownLength{TF}$ , $\ThalesKnownLength{TH}$ .
On garde les deux rapports utiles : celui avec $TS$ et celui dont les deux valeurs sont connues.
On remplace les longueurs connues, puis on applique le produit en croix.
On commence la ligne par la longueur cherchée $TS$ .
On conclut avec l’unité de longueur.

II. Étudier un parallélisme

A. Propriété

Si $\TTLineRed{\text{deux droites}}$ sont $\TTLineGreen{\text{perpendiculaires à une même droite}}$ , alors $\TTLineRed{\text{elles sont parallèles}}$ entre elles.

Exercice-type 2TT.2.n°1 TT.2.n°3

Démontrer que les droites $(AF)$ et $(BD)$ sont parallèles.

CorrectionÉtape 0 sur 1

Comme les droites $\TTLineRed{\text{(AF)}}$ et $\TTLineRed{\text{(BD)}}$ sont $\TTLineGreen{\text{perpendiculaires à la même droite}}$ $\TTLineGreen{\text{(AB)}}$ , alors les droites $\TTLineRed{\text{(AF)}}$ et $\TTLineRed{\text{(BD)}}$ sont parallèles entre elles.

B. « Réciproque » du théorème de Thalès

Si :

les points $A$ , $B$ , $M$ et $A$ , $C$ , $N$ sont alignés dans le même ordre ;
$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$ .

Alors : les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles.

C. « Contraposée » du théorème de Thalès

Si :

les points $A$ , $B$ , $M$ et $A$ , $C$ , $N$ sont alignés dans le même ordre ;
$\dfrac{AM}{AB}\ne\dfrac{AN}{AC}$ .

Alors : les droites $(BC)$ et $(MN)$ ne sont pas parallèles.

Exercice-type 3TT.2.n°1 TT.2.n°3

On considère la figure ci-contre où les droites $(DB)$ et $(CE)$ se coupent en $A$ .

Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont-elles parallèles ?

CorrectionÉtape 0 sur 3

Rédaction attendue

1^re étape : alignement et ordre des points

Les points $B$ , $A$ , $E$ sont alignés dans le même ordre que $C$ , $A$ , $D$ .

2^e étape : calcul séparé des rapports

\text{D'une part : }\frac{AE}{AB}=\frac{5{,}4}{7{,}2}\qquad\qquad\text{D'autre part : }\frac{AD}{AC}=\frac{6{,}6}{8{,}8}

Pour savoir si $\dfrac{5{,}4}{7{,}2}=\dfrac{6{,}6}{8{,}8}$ , on calcule et compare les produits en croix :

5{,}4\times8{,}8=\TTYellow{47{,}52}\qquad\text{et}\qquad7{,}2\times6{,}6=\TTYellow{47{,}52}

3^e étape : conclusion

On remarque que $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}$ donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.

Explications

On vérifie l’alignement et l’ordre des points avant d’utiliser la réciproque.
On écrit les deux rapports à comparer.
On ne compare pas des valeurs approchées : on compare les produits en croix.
Les produits en croix sont égaux, donc les rapports sont égaux ; on cite la réciproque seulement maintenant.

Exercice-type 4TT.2.n°4 TT.2.n°6

On considère la figure ci-contre où les droites $(BE)$ et $(DC)$ se coupent en $A$ .

Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont-elles parallèles ?

CorrectionÉtape 0 sur 3

Rédaction attendue

1^re étape : alignement et ordre des points

Les points $A$ , $B$ , $E$ sont alignés dans le même ordre que $A$ , $C$ , $D$ .

2^e étape : calcul séparé des rapports

Attention : on calcule d’abord la longueur $AE$ .

AE=AB+BE=8{,}4\,cm+4{,}1\,cm=12{,}5\,cm

\text{D'une part : }\frac{AB}{AE}=\frac{8{,}4}{12{,}5}\qquad\qquad\text{D'autre part : }\frac{AC}{AD}=\frac{6{,}7}{10{,}5}

Pour savoir si $\dfrac{8{,}4}{12{,}5}=\dfrac{6{,}7}{10{,}5}$ , on calcule et compare les produits en croix :

8{,}4\times10{,}5=\TTYellow{88{,}2}\qquad\text{et}\qquad12{,}5\times6{,}7=\TTYellow{83{,}75}

3^e étape : conclusion

On remarque que $\dfrac{AB}{AE}\ne\dfrac{AC}{AD}$ donc, d'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites $(BC)$ et $(DE)$ ne sont pas parallèles.

Explications

Attention, l’ordre est important.
Attention ici, on doit additionner les longueurs $AB$ et $BE$ pour obtenir $AE$ .
On pense à séparer les calculs.
Pour savoir si les deux rapports sont égaux, on calcule les produits en croix et on les compare.
Les produits en croix obtenus ne sont pas égaux. On peut conclure.
On cite la contraposée du théorème de Thalès seulement maintenant.