Tf.

Géométrie

Transformations du plan

Icônes à identifier

ExplicationsComprendre la démarche

Rédaction attendueCe qu'il faut écrire

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I. Transformer une figure par symétrie ou translation

A.Définition de la symétrie axiale : symétrique d’un point par rapport à une droite

Application - Transcription source à homogénéiser

Chapitre 3 : Transformations du plan

Soit ( $d$ ) une droite.

• Si un point $A$ n’appartient pas à la droite ( $d$ ), alors son symétrique par rapport à la droite ( $d$ ) est

le point 𝐴’ tel que ( $d$ ) est la médiatrice du segment [ $A$ 𝐴’].

• Si un point $B$ appartient à la droite ( $d$ ), alors son symétrique par rapport à la droite ( $d$ ) est le

point lui-même.

✓ Exemple

Sur la figure ci-contre :

• $A$ ∉ ( $d$ ) donc son symétrique $A$ ′ par rapport à ( $d$ ) est

tel que ( $d$ ) est la médiatrice du segment [ $A$ $A$ ′].

• $B$ ∈ ( $d$ ) donc son symétrique $B$ ′ par rapport à ( $d$ ) est

le point lui-même.

B.Propriété de la symétrie axiale

Application - Transcription source à homogénéiser

Deux figures symétriques par rapport à une droite ( $d$ ) sont superposables : elles se superposent quand

on « plie » le long de cette droite.

✓ Exemples

( $d$ )

C.Définition de la symétrie centrale : symétrique d’un point par rapport à un point

Application - Transcription source à homogénéiser

Soit O un point.

• Le symétrique par rapport au point O d’un point C distinct de O est le point C’ tel que O est le

milieu du segment [CC’].

• Le symétrique du point O par rapport à O est lui-même.

✓ Exemple

Sur la figure ci-contre :

• C est distinct de O donc son symétrique C′ par

rapport à O est tel que O est le milieu du segment

[CC′].

D.Propriété de la symétrie centrale

Application - Transcription source à homogénéiser

Deux figures symétriques par rapport à un point O sont superposables : elles se superposent lorsqu’on

effectue un demi-tour autour du point O.

✓ Exemples

E.Définition de la translation

Application - Transcription source à homogénéiser

Transformer une figure par translation, c’est la faire glisser selon une direction, un sens et une

longueur.

Sur une figure, on peut schématiser ce glissement par des flèches également appelées vecteurs.

✓ Exemple

Sur la figure ci-dessous :

$F$ 2

$F$ 1

• La figure $F$ 2 est obtenue par glissement de la figure $F$ 1 suivant la flèche ⃗⃗⃗⃗⃗

$A$ $B$ (également

⃗⃗⃗⃗⃗

appelé vecteur $A$ $B$ ).

• La figure $F$ 2 est l’image de la figure $F$ 1 par la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗

$A$ $B$ , c’est-à-dire par la

translation qui transforme $A$ en $B$ .

• Le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗

$A$ $B$ a une direction, un sens et une longueur.

F.Propriétés de conservation des symétries et de la translation

Application - Transcription source à homogénéiser

Les symétries (axiale et centrale) et la translation conservent :

• Les alignements

• Les mesures des angles

• Les longueurs

• Les aires

II. Transformer une figure par rotation

A.Définition de la rotation

Application - Transcription source à homogénéiser

Transformer une figure par rotation, c’est la faire tourner autour d’un point.

Une rotation est définie par : sens sens

• Un centre antihoraire horaire

• Un angle de rotation

• Un sens de rotation (horaire ou antihoraire)

✓ Exemple

1. Cas particulier de rotation

Une rotation de centre O et d’angle 180° revient à une symétrie centrale de centre O.

B.Propriétés de la rotation

Application - Transcription source à homogénéiser

• Une figure et son image par une rotation sont superposables.

• La rotation conserve les alignements, les mesures des angles, les longueurs et les aires.

✓ Exemple

La rosace ci-dessous est constituée d’un motif qui a été reproduit plusieurs fois par rotation.

Pour obtenir cette rosace à 6 branches, on a fait tourner le motif 6 fois de suite autour du

point O avec un angle antihoraire de 60° (360° ÷ 6 = 60°).

III. Transformer une figure par homothétie

A.Définition de l’homothétie

Application - Transcription source à homogénéiser

Soit O un point et $k$ un nombre relatif non nul.

Transformer une figure par une homothétie de centre O et de rapport $k$ , c’est l’agrandir ou la réduire

en faisant glisser ses points le long de droites passant par O.

Une homothétie est définie par :

• Un centre

• Un rapport $k$ non nul

✓ Exemple

On veut transformer la figure ABC par l’homothétie de

centre O et de rapport $k$ = 3.

On fait glisser les points de la figure ABC le long des

droites (OA), (OB) et (OC).

B.Effets du rapport 𝒌 de l’homothétie sur la figure

Application - Transcription source à homogénéiser

• Lorsque $k$ > $1$ , l’homothétie effectue un agrandissement de la figure dans le même sens.

• Lorsque $0$ < $k$ < $1$ , l’homothétie effectue une réduction de la figure dans le même sens.

• Lorsque − $1$ < $k$ < $0$ , l’homothétie effectue une réduction de la figure et la retourne.

• Lorsque $k$ = − $1$ , l’homothétie revient à une symétrie centrale de centre O.

• Lorsque $k$ < − $1$ , l’homothétie effectue un agrandissement de la figure et la retourne.

✓ Exemples

C.Propriétés de l’homothétie

Application - Transcription source à homogénéiser

• Une figure et son image par une homothétie ont la même forme.

L’homothétie conserve les alignements et les mesures des angles.

• Par une homothétie de rapport $k$ > 0, les longueurs sont multipliées par $k$ et les aires par $k$ 2.

✓ Exemple

Le rectangle A’B’C’D’ est l’image du rectangle

ABCD par l’homothétie de centre O et de

rapport $k$ = 3.

Les longueurs sont multipliées par $k$ = 3 :

Comme $A$ $B$ = 2 $c$ $m$ alors :

$A$ ′ $B$ ′ = 3 × $A$ $B$ = 3 × 2 $c$ $m$ = 6 $c$ $m$ .

Les aires sont multipliées par $k^2$ = 3² = 9 :

Comme $A$ $A$ $B$ $C$ $D$ = 2 $c$ $m^2$ alors :

$A$ $A$ ′ $B$ ′ $C$ ′ $D$ ′ = 32 × $A$ $A$ $B$ $C$ $D$ = 9 × 2 $c$ $m$ 2 = 18 $c$ $m^2$